Πρασινίζει η Οικονομία της ΕΕ;

Η πράσινη ανάπτυξη θεωρείται πρακτικό εργαλείο για την επίτευξη της βιώσιμης ανάπτυξης (Kasztelan, 2017). Βασίζεται στην κατανόηση ότι, εφόσον η οικονομική μεγέθυνση παραμένει κυρίαρχος στόχος, απαιτείται η αποσύνδεση της οικονομικής μεγέθυνσης από τη χρήση πόρων και τις αρνητικές περιβαλλοντικές επιπτώσεις. Ο όρος «αποσύνδεση» χρησιμοποιείται συνήθως για να δηλώσει τη δυνατότητα οικονομικής μεγέθυνσης που λαμβάνει χώρα ταυτόχρονα με τη μείωση της περιβαλλοντικής πίεσης. Με άλλα λόγια, η έννοια της αποσύνδεσης εισήχθη προκειμένου να μετρηθεί και να αναλυθεί το αμφιλεγόμενο αντιστάθμισμα μεταξύ οικονομικής ανάπτυξης και περιβαλλοντικής βιωσιμότητας (Tarabusi & Guarini, 2018).

{tocify} $title={Περιεχόμενα}

Δείκτες

Δύο τύποι αποσύνδεσης αναγνωρίζονται κυρίως, η Σχετική Αποσύνδεση και η Απόλυτη Αποσύνδεση (Green Growth). Ο πλέον συνήθως χρησιμοποιούμενος δείκτης για τη μέτρηση της οικονομικής μεγέθυνσης είναι το ΑΕΠ (Ακαθάριστο Εγχώριο Προϊόν), όμως εδώ χρησιμοποιείται το Πραγματικό ΑΕΠ κατά κεφαλήν (RGDP). Σύμφωνα με τη Eurostat, ο δείκτης αυτός υπολογίζεται ως ο λόγος του πραγματικού ΑΕΠ προς τον μέσο πληθυσμό ενός συγκεκριμένου έτους. Το ΑΕΠ μετρά την αξία της συνολικής τελικής παραγωγής αγαθών και υπηρεσιών που παράγονται από μια οικονομία εντός συγκεκριμένης χρονικής περιόδου. Περιλαμβάνει αγαθά και υπηρεσίες που διατίθενται σε αγορές (ή θα μπορούσαν να διατεθούν σε αγορές), καθώς και προϊόντα που παράγονται από τη γενική κυβέρνηση και μη κερδοσκοπικούς οργανισμούς. Αποτελεί μέτρο της οικονομικής δραστηριότητας και χρησιμοποιείται επίσης ως υποκατάστατο μέγεθος για την εξέλιξη του υλικού βιοτικού επιπέδου μιας χώρας.

Από την άλλη πλευρά, ένας ευρέως χρησιμοποιούμενος δείκτης για τη μέτρηση της περιβαλλοντικής πίεσης είναι οι Καθαρές Εκπομπές Αερίων του Θερμοκηπίου (NGG). Σύμφωνα με τη Eurostat, ο δείκτης αυτός μετρά τις συνολικές εθνικές εκπομπές, συμπεριλαμβανομένης της διεθνούς αεροπορίας, του αποκαλούμενου ‘Kyoto basket’ αερίων του θερμοκηπίου, το οποίο περιλαμβάνει το διοξείδιο του άνθρακα (`CO_2`), το μεθάνιο (`CH_4`), το υποξείδιο του αζώτου (`N_2 O`) και τα λεγόμενα F-gases (υδροφθοράνθρακες, υπερφθοράνθρακες, τριφθοριούχο άζωτο (`NF_3`) και εξαφθοριούχο θείο (`SF_6`), από όλους τους τομείς των απογραφών εκπομπών αερίων του θερμοκηπίου, συμπεριλαμβανομένης της διεθνούς αεροπορίας και των έμμεσων εκπομπών `CO_2`).

Δεδομένα & Μεθοδολογία

Για την ανάλυσή μας χρησιμοποιούνται τα σύνολα δεδομένων των δεικτών για τις χρονικές περιόδους 2000–2009 και 2010–2019 για τις ευρωπαϊκές χώρες. Και τα δύο σύνολα δεδομένων, τόσο για το Πραγματικό ΑΕΠ κατά κεφαλήν όσο και για τις Καθαρές Εκπομπές Αερίων του Θερμοκηπίου (`CO_2`, `N_2 O`, `CH_4`, `HFC`, `PFC`, `SF_6`, `NF_3`), προέρχονται από τη Eurostat (sdg_08_10 και sdg_13_10). Για μια δεδομένη χώρα σε χρόνο j, έστω ότι `Y_j` είναι το Πραγματικό ΑΕΠ κατά κεφαλήν και `H_j` το επίπεδο της περιβαλλοντικής πίεσης. Οι αντίστοιχοι ρυθμοί μεταβολής ως προς τον χρόνο `j + n` δίνονται ως εξής:

•  `y = \frac{Y_(j+n) - Y_j}{Y_j} => y = \frac{Y_(j+n)}{Y_j} - 1`
•  `h = \frac{H_(j+n) - H_j}{Y_j} => h = \frac{H_(j+n)}{H_j} - 1`

Το νέφος σημείων εκτείνεται σε σημαντικό αριθμό παρατηρήσεων σε καθεμία από τις έξι ανοικτές περιοχές του επιπέδου (και ορισμένα σημεία ενδέχεται να βρίσκονται αυθαίρετα κοντά σε καθεμία από τις έξι ημιευθείες, καθώς και κοντά στην αρχή των αξόνων), γεγονός που καταδεικνύει ότι κάθε θεωρητικά δυνατός συνδυασμός προσήμων για τα y, h και τη διαφορά τους y − h δύναται πράγματι να εμφανισθεί και δεν μπορεί να αγνοηθεί. Οι μεταβλητές y και h δεσμεύονται αποκλειστικά από τους περιορισμούς: `x, y > -1`. Επιπλέον, στο τέλος του άρθρου παρατίθεται πίνακας, ο οποίος περιλαμβάνει αναλυτικά τις τιμές των y και h για κάθε χώρα της Ευρωπαϊκής Ένωσης για τις χρονικές περιόδους 2000–2009 και 2010–2019.

Αποτελέσματα

Figure 1: Combinations (x, y) of countries, for the time period 2000 - 2009
[Own Processing]

Παρατηρώντας το Figure 1, διαπιστώνεται ότι η πλειονότητα των χωρών της Ευρωπαϊκής Ένωσης κατά την περίοδο 2000–2010 βρισκόταν σε καθεστώς αποσύνδεσης, απόλυτης (πράσινη ανάπτυξη) ή σχετικής. Ειδικότερα, το Λουξεμβούργο, η Κροατία, η Πολωνία, η Βουλγαρία, η Λιθουανία και η Εσθονία εντάσσονταν στη φάση της σχετικής αποσύνδεσης, γεγονός που συνεπάγεται ότι η οικονομική μεγέθυνση των χωρών αυτών υπερέβαινε την αύξηση της περιβαλλοντικής πίεσης (`h < y` και `h > 0`). Η Αυστρία βρισκόταν σε δυσμενέστερη κατάσταση σε σύγκριση με τις προαναφερθείσες χώρες, καθώς η περιβαλλοντική πίεση κατά την περίοδο 2000–2009 ήταν υψηλότερη από την οικονομική μεγέθυνση (`y < h` και `y > 0`).

Η Μάλτα, η Κύπρος, η Ελλάδα, η Σλοβενία, η Τσεχία, η Ουγγαρία, η Φινλανδία, η Ιρλανδία, η Πορτογαλία, η Δανία, η Γερμανία, οι Κάτω Χώρες, η Ισπανία, η Γαλλία, η Σουηδία, η Σλοβακία, το Βέλγιο και η Λετονία βρίσκονταν στη φάση της απόλυτης αποσύνδεσης (πράσινη ανάπτυξη), όπου συνυπάρχουν οικονομική μεγέθυνση και μείωση της περιβαλλοντικής πίεσης (`h < y`, `h < 0` και `y > 0`). Αντιθέτως, στην Ιταλία η περιβαλλοντική πίεση υπερέβαινε την οικονομική μεγέθυνση κατά την περίοδο 2000–2009 (`h < y` και `y < 0`). 

Figure 2: Combinations (x, y) of countries, for the time period 2010 - 2019
[Own Processing]

Παρατηρώντας το Figure 2, καθίσταται σαφές ότι δεν παρατηρούνται δραστικές μεταβολές. Η πλειονότητα των ευρωπαϊκών χωρών εξακολουθεί να βρίσκεται είτε στη φάση της απόλυτης αποσύνδεσης (πράσινη ανάπτυξη) είτε στη φάση της σχετικής αποσύνδεσης. Αναλυτικά, η Λετονία, η Βουλγαρία, η Τσεχία και η Πολωνία εντάσσονται στη φάση της σχετικής αποσύνδεσης (`h < y` και `h > 0`). Στη Λιθουανία και τη Σλοβενία η περιβαλλοντική πίεση υπερβαίνει την οικονομική μεγέθυνση κατά την εξεταζόμενη περίοδο (`y < h` και `y > 0`). Στη φάση της πράσινης ανάπτυξης εντάσσονται η Πορτογαλία, η Ουγγαρία, η Κροατία, η Αυστρία, η Κύπρος, η Ισπανία, το Βέλγιο, η Γαλλία, η Γερμανία, η Σλοβακία, η Εσθονία, οι Κάτω Χώρες, η Ιταλία, το Λουξεμβούργο, η Φινλανδία, η Δανία, η Μάλτα και η Σουηδία κατά την τελευταία δεκαετία (`h < y`, `h < 0` και `y > 0`). Αντιθέτως, στην Ελλάδα η οικονομική μεγέθυνση είναι αρνητική, αν και παραμένει υψηλότερη από την περιβαλλοντική πίεση (`h < y` και `y < 0`).

Συμπερασματικά, η πλειονότητα των ευρωπαϊκών χωρών εντάσσεται στη φάση της πράσινης ανάπτυξης και στις δύο δεκαετίες. Κατά την τελευταία δεκαετία, η Αυστρία, το Λουξεμβούργο, η Κροατία και η Εσθονία μετακινούνται προς τη φάση της πράσινης ανάπτυξης. Παράλληλα, η Σλοβενία μετακινείται από τη φάση της πράσινης ανάπτυξης και η Λιθουανία από τη φάση της σχετικής αποσύνδεσης προς τη φάση "`0 < y < h`". Επιπλέον, η Ιταλία και η Ελλάδα ανταλλάσσουν θέσεις, καθώς η Ιταλία μετακινείται από τη φάση "`0 < h < y`" προς την πράσινη ανάπτυξη, ενώ η Ελλάδα μετακινείται από την απόλυτη αποσύνδεση προς τη φάση "`0 < h < y`".

Πίνακας Δεδομένων

Country	2000 - 2009		2010 - 2019
	Environmental  Pressure (h)	Economic Growth (y)	Environmental  Pressure (h)	Economic Growth (y)
Austria	0.1481	0.0984	-0.0833	0.0769
Belgium	-0.1959	0.0940	-0.1600	0.0825
Bulgaria	0.2245	0.6622	0.0625	0.3051
Croatia	0.1667	0.3450	-0.0612	0.1970
Cyprus	-0.0382	0.1699	-0.0924	0.0842
Czech	-0.1007	0.3081	0.0078	0.2290
Denmark	-0.1507	0.0244	-0.3008	0.1239
Estonia	0.0101	0.4284	-0.1575	0.4024
Finland	-0.3670	0.1193	-0.2952	0.0590
France	-0.1667	0.0456	-0.1600	0.0857
Germany	-0.1181	0.0578	-0.1538	0.1265
Greece	-0.0508	0.2249	-0.2453	-0.1186
Hungary	-0.1507	0.2453	-0.0161	0.3297
Ireland	-0.2350	0.0893	-0.1161	0.6384
Italy	-0.1474	-0.0303	-0.2073	0.0108
Latvia	-6.0000	0.6705	0.1224	0.4655
Lithuania	0.3793	0.6673	0.6176	0.5525
Luxembourg	0.1013	0.1308	-0.2538	0.0177
Malta	-0.0494	0.1389	-0.3291	0.3783
Netherlands	-0.1088	0.0884	-0.1679	0.0912
Poland	0.0000	0.4062	0.0000	0.3851
Portugal	-0.2237	0.0296	-0.0169	0.0989
Slovakia	-0.0139	0.5283	-0.1507	0.2601
Slovenia	-0.0484	0.2568	0.3667	0.1673
Spain	-0.1477	0.0764	-0.1250	0.0938
Sweden	-0.1875	0.1198	-0.4000	0.1059

Πηγές

• Kasztelan, A. (2017). Green Growth, Green Economy and Sustainable Development: Terminological and Relational Discourse. Prague Economic Papers, 26(4), 487-499. https://doi.org/10.18267/j.pep.626
  
  
• Tarabusi, C., & Guarini, G. (2018). An axiomatic approach to decoupling indicators for green growth. Ecological Indicators, 84, 515-524. https://doi.org/10.1016/j.ecolind.2017.07.061 

Είναι το ΤΖΟΚΕΡ απάτη;

Το τυχερό παιχνίδι Τζόκερ βασίζεται σε δύο διακριτά σύνολα αριθμών. Το πρώτο περιλαμβάνει σαράντα πέντε αριθμούς και το δεύτερο είκοσι. Η ανάδειξη του νικητή της πρώτης κατηγορίας απαιτεί την επιτυχία των πέντε σωστών αριθμών από το πρώτο σύνολο και ενός αριθμού από το δεύτερο. Η απαίτηση αυτή δημιουργεί ένα πολύ μικρό ενδεχόμενο επιτυχίας [1], [2].

{tocify} $title={Περιεχόμενα}

Θεωρητικό Πλαίσιο

Στον επίσημο οδηγό του παιχνιδιού αναφέρεται ότι από την πρώτη σειρά κληρώνονται 5 αριθμοί από ένα σύνολο 45 αριθμών [1]. Για να υπολογίσουμε την πιθανότητα να πετύχει κάποιος ακριβώς την πεντάδα που έχει σημειώσει, χρειαζόμαστε δύο μεγέθη. Το πλήθος όλων των δυνατών πεντάδων που μπορεί να κληρώσει η κληρωτίδα από τους 45 αριθμούς και το πλήθος των ευνοϊκών περιπτώσεων για τον παίκτη.

Αξίζει να σημειώσουμε ότι δεν μας ενδιαφέρει η σειρά που θα εμφανιστούν οι αριθμοί στην πεντάδα, δηλαδή η πεντάδα {1, 2, 3, 4, 5} είναι η ίδια με την {5, 4, 3, 2, 1}. Άρα, ο γενικός τύπος που χρησιμοποιούμε για να υπολογίσουμε τους συνολικούς συνδυασμούς είναι ο τύπος των συνδυασμών χωρίς διάταξη [3]:

\[\left(\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right)={\frac{n!}{k!(n-k)!}}\]

Συνεπώς, για \(n=45\) και \(k=5\) προκύπτει:

\[\left(\begin{array}{c}45\\ 5\end{array}\right)={\frac{45!}{5!40!}}=1\,221\,759\]

Η ευνοϊκή περίπτωση για τον παίκτη είναι μόνο μία. Η κληρωτίδα πρέπει να αναδείξει ακριβώς τους 5 αριθμούς που έχει σημειώσει ο παίκτης. Άρα, η πιθανότητα επιτυχίας είναι ίση με:

\[p_5 = \frac{1}{1\,221\,759} \approx 0.00008185 \text{%}\]

Επίσης, στον επίσημο οδηγό αναφέρεται ότι στη δεύτερη περιοχή κληρώνεται ένας αριθμός από σύνολο είκοσι αριθμών, από το 1 έως το 20 [1]. Συνεπώς, η πιθανότητα να επιτύχει ο παίκτης τον αριθμό Τζόκερ είναι:

\[p_1 = \frac{1}{20} = 5 \text{%}\]

Λαμβάνοντας υπόψη την πιθανότητα της σωστής πεντάδας που υπολογίσαμε προηγουμένως, μπορούμε να υπολογίσουμε την τελική πιθανότητα επιτυχίας στην πρώτη κατηγορία. Αξίζει να σημειώσουμε ότι οι δύο διαδικασίες είναι ανεξάρτητες. Η πρώτη κληρωτίδα αναδεικνύει πέντε αριθμούς από τους σαράντα πέντε και η δεύτερη έναν αριθμό από τους είκοσι. Το αποτέλεσμα της μίας δεν επηρεάζει το αποτέλεσμα της άλλης. Άρα, η πιθανότητα να συμβούν και τα δύο γεγονότα ταυτόχρονα ισούται με το γινόμενο των δύο πιθανοτήτων. Επομένως:

\[p_{51} = \frac{1}{1\,221\,759} \times \frac{1}{20} = \frac{1}{24\,435\,180}\]

Υπολογισμός για Δεκαετία

Επειδή τα στείρα μαθηματικά δεν έχουν καμία αξία, καλό είναι να καταλάβουμε την τάξη μεγέθους μέσω ενός παραδείγματος. Έστω ότι ένας παίκτης παίζει \(n\) στήλες σε κάθε κλήρωση. Η πιθανότητα επιτυχίας σε μία κλήρωση, για σπάνιο γεγονός με πιθανότητα \(p\), προσεγγίζει την ποσότητα \(n \times p\). Σε ορίζοντα \(D\) κληρώσεων, ο αναμενόμενος αριθμός επιτυχιών προσεγγίζει το γινόμενο \(\lambda \approx n \times p \times D\). Η λογική αυτή συνδέεται με την προσέγγιση Poisson, η οποία χρησιμοποιείται συχνά για γεγονότα που εμφανίζονται σπάνια και ανεξάρτητα μέσα σε ένα δεδομένο διάστημα [4]. Στον επίσημο οδηγό αναφέρεται ότι το Τζόκερ κληρώνεται τρεις φορές την εβδομάδα, Τρίτη, Πέμπτη και Κυριακή [1]. Άρα, ο απαιτούμενος αριθμός στηλών σε κάθε κλήρωση προσεγγίζει την τιμή \(n \approx \frac{1}{p \times D}\). Τα δεδομένα μας είναι:

1. Πιθανότητες: \(p_5 = \frac{1}{1\,221\,759}\) και \(p_{51} = \frac{1}{24\,435\,180}\)
2. Συνολικές κληρώσεις: \(D = \text{κληρώσεις ανά εβδομάδα} \times \text{εβδομάδες ανά έτος} \times \text{έτη}\)

Έστω ότι κάποιος βάζει στόχο να πετύχει την πεντάδα ή την πεντάδα μαζί με Τζόκερ μέσα στην επόμενη δεκαετία. Τότε, \(D = 3 \times 52 \times 10 = 1560\). Άρα, 1560 φορές θα γυρίσει η κληρωτίδα μέσα σε δέκα έτη. Συνεπώς:

\[n_5 \approx \frac{1}{{\frac{1}{1\,221\,759}} \times 1560} \approx 783\]

Άρα χρειάζονται περίπου επτακόσιες ογδόντα τρεις απλές στήλες σε κάθε κλήρωση, ώστε ο αναμενόμενος αριθμός επιτυχιών για την πεντάδα να είναι περίπου ίσος με μία μέσα σε δέκα έτη. Με τρεις κληρώσεις την εβδομάδα, το πλήθος αυτό αντιστοιχεί σε \(783 \times \frac{3}{7} \approx 336\) στήλες ανά ημερολογιακή ημέρα κατά μέσο όρο. Το συνολικό πλήθος στηλών σε δέκα έτη ανέρχεται περίπου σε \(783 \times 1560 = 1\,221\,480\). Δεδομένου ότι το κόστος είναι EUR 1 ανά στήλη, τότε το κόστος φτάνει περίπου τα 1.22 εκατομμύρια ευρώ σε συμμετοχές, για να γίνει ο αναμενόμενος αριθμός επιτυχιών στην πεντάδα περίπου ίσος με μία μέσα στη δεκαετία.

Αντίστοιχα, για την πεντάδα μαζί με Τζόκερ έχουμε:

\[n_{51} \approx \frac{1}{{\frac{1}{24\,435\,180}} \times 1560} \approx 15\,664\]

Άρα ο παίκτης θα έπρεπε να παίζει περίπου δεκαπέντε χιλιάδες εξακόσιες εξήντα τέσσερις στήλες σε κάθε κλήρωση, ώστε ο αναμενόμενος αριθμός επιτυχιών για την πεντάδα μαζί με Τζόκερ να είναι περίπου ίσος με μία μέσα σε δέκα έτη. Σε ημερήσια βάση αυτό αντιστοιχεί σε περίπου \(15\,664 \times \frac{3}{7} \approx 6713\) στήλες. Σε επίπεδο δεκαετίας, το συνολικό πλήθος στηλών ανέρχεται σε \(15\,664 \times 1560 = 24\,435\,840\). Το συνολικό κόστος υπερβαίνει τα 24 εκατομμύρια ευρώ.

Έστω ότι κάποιος αποφασίζει να διαθέσει αυτά τα ποσά, χωρίς να γνωρίζει ότι η συμμετοχή σε ένα τέτοιο παιχνίδι δεν αποτελεί κερδοφόρα επένδυση. Αν υποθέσουμε ότι για τη συμπλήρωση μίας στήλης απαιτείται 1 λεπτό, τότε ο παίκτης θα ξόδευε 336 λεπτά ανά ημέρα για την πεντάδα ή 6713 λεπτά ανά ημέρα για την πεντάδα μαζί με Τζόκερ. Τα μεγέθη αυτά αντιστοιχούν σε περίπου 5.6 ώρες ανά ημέρα για την πεντάδα και περίπου 112 ώρες ανά ημέρα για την πεντάδα μαζί με Τζόκερ. Προφανώς, η ημέρα έχει 24 ώρες και όχι 112. Συνεπώς, για να συμπληρώσει 6713 στήλες μέσα σε μία ημέρα, θα έπρεπε να συμπληρώνει περίπου 4.7 στήλες ανά λεπτό.

Υπολογισμός για Μία Ανθρώπινη Ζωή

Το παράδειγμα της δεκαετίας δείχνει ήδη την κλίμακα του προβλήματος. Ωστόσο, αξίζει να επεκτείνουμε τον χρονικό ορίζοντα. Έστω ότι ως ανθρώπινη ζωή θεωρούμε τα 80 έτη. Με τρεις κληρώσεις την εβδομάδα, το συνολικό πλήθος κληρώσεων γίνεται \(D = 3 \times 52 \times 80 = 12\,480\).

Με βάση την ίδια λογική, για την απλή πεντάδα ο απαιτούμενος αριθμός στηλών ανά κλήρωση γίνεται:

\[n_5 \approx 98\]

Άρα, σε ορίζοντα 80 ετών, ο παίκτης θα έπρεπε να παίζει περίπου ενενήντα οκτώ στήλες σε κάθε κλήρωση, ώστε ο αναμενόμενος αριθμός επιτυχιών για την πεντάδα να είναι περίπου ίσος με μία. Σε ημερήσια βάση, αυτό αντιστοιχεί σε \(98 \times \frac{3}{7} \approx 42\) στήλες ανά ημέρα. Το συνολικό πλήθος στηλών σε 80 έτη ανέρχεται περίπου σε \(98 \times 12\,480 = 1\,223\,040\). Με κόστος EUR 1 ανά στήλη, το συνολικό κόστος φτάνει περίπου τα 1.22 εκατομμύρια ευρώ.

Για την πεντάδα μαζί με Τζόκερ, ο απαιτούμενος αριθμός στηλών ανά κλήρωση γίνεται:

\[n_{51} \approx 1958\]

Άρα, σε ορίζοντα 80 ετών, ο παίκτης θα έπρεπε να παίζει περίπου χίλιες εννιακόσιες πενήντα οκτώ στήλες σε κάθε κλήρωση, ώστε ο αναμενόμενος αριθμός επιτυχιών για την πεντάδα μαζί με Τζόκερ να είναι περίπου ίσος με μία. Σε ημερήσια βάση, αυτό αντιστοιχεί σε \(1958 \times \frac{3}{7} \approx 839\) στήλες ανά ημέρα. Σε επίπεδο 80 ετών, το συνολικό πλήθος στηλών ανέρχεται σε \(1958 \times 12\,480 = 24\,435\,840\). Επομένως, το συνολικό κόστος υπερβαίνει τα 24 εκατομμύρια ευρώ.

Αν διατηρήσουμε την υπόθεση ότι για τη συμπλήρωση μίας στήλης απαιτείται 1 λεπτό, τότε οι 42 στήλες ανά ημέρα για την πεντάδα αντιστοιχούν σε περίπου 42 λεπτά ημερησίως. Αντίθετα, οι 839 στήλες ανά ημέρα για την πεντάδα μαζί με Τζόκερ αντιστοιχούν σε περίπου 839 λεπτά, δηλαδή σχεδόν 14 ώρες ημερησίως, κάθε ημέρα, για 80 συνεχόμενα έτη.

Οι παραπάνω υπολογισμοί δεν δείχνουν ότι η επιτυχία είναι βέβαιη. Δείχνουν το πλήθος στηλών που απαιτείται ώστε ο αναμενόμενος αριθμός επιτυχιών να γίνει περίπου ίσος με μία. Ακόμη και τότε, η πιθανότητα τουλάχιστον μίας επιτυχίας είναι περίπου \(1-e^{-1}\), δηλαδή περίπου 63.2%, και όχι 100%. Το σημείο αυτό είναι κρίσιμο, επειδή η αναμενόμενη τιμή δεν ταυτίζεται με τη βεβαιότητα επιτυχίας [4]. Τα παραπάνω δείχνουν ότι ακόμη και όταν ο χρονικός ορίζοντας επεκτείνεται από τη δεκαετία σε μία υποθετική ανθρώπινη ζωή 80 ετών, η πεντάδα και ιδίως η πεντάδα μαζί με Τζόκερ παραμένουν γεγονότα πολύ σπάνια.

Πηγές

[1] ΟΠΑΠ Α.Ε. Οδηγός Παιγνίου ΤΖΟΚΕΡ. Διαθέσιμο στο: https://stores.allwyn.gr/documents/38681/0/TZOKER%2BOfficial%2BGuide%2Bup%2Bto%2B30.11%2B%281%29.pdf/3f921e24-894f-e28c-0b63-63860e377f33?t=1700495435851

[2] ΟΠΑΠ Α.Ε. Τροποποίηση Κανονισμού Οργάνωσης, Λειτουργίας και Διεξαγωγής του Αριθμολαχείου «5 από 45 και 1 από 20 (ΤΖΟΚΕΡ)». Διαθέσιμο στο: https://media.opap.gr/Swf/tropopoisikanonismoutzoker.pdf

[3] Encyclopaedia Britannica. Permutations and combinations. Διαθέσιμο στο: https://www.britannica.com/science/permutation

[4] OpenStax. Introductory Statistics 2e, Poisson Distribution. Διαθέσιμο στο: https://openstax.org/books/introductory-statistics-2e/pages/4-6-poisson-distribution