Η Παγίδα του Λαγοκέφαλου

Η απόφαση να πληρώνονται οι επαγγελματίες αλιείς για κάθε κιλό λαγοκέφαλου που παραδίδουν εμφανίζεται, σε πρώτη ανάγνωση, ως μια απλή και πρακτική λύση σε ένα υπαρκτό πρόβλημα, καθώς ο λαγοκέφαλος προκαλεί ζημιές στα αλιευτικά εργαλεία, μειώνει την αξία της αλιευτικής δραστηριότητας, διαταράσσει το θαλάσσιο οικοσύστημα και, λόγω της τοξικότητάς του, δεν μπορεί να ενταχθεί με τον συνηθισμένο τρόπο στην αγορά ως εμπορεύσιμο αλίευμα. Σύμφωνα με το Associated Press και Δύναμη Αγοράς, η ελληνική πολιτική προβλέπει πληρωμή 5,33 ευρώ ανά κιλό, ενώ τα ψάρια που θα παραδίδονται θα καταψύχονται και θα αποτεφρώνονται. Το ίδιο ποσό αναφέρεται και από την Καθημερινή, η οποία παρουσιάζει το μέτρο ως πιλοτικό πρόγραμμα για την προστασία των θαλάσσιων οικοσυστημάτων.

{tocify} $title={Περιεχόμενα}

Το κρίσιμο ζήτημα δεν είναι αν ο λαγοκέφαλος αποτελεί πρόβλημα, διότι πράγματι αποτελεί, ούτε αν οι αλιείς χρειάζονται στήριξη, διότι πράγματι υφίστανται σημαντικό κόστος από την εξάπλωση του είδους. Το κρίσιμο ζήτημα είναι αν η πληρωμή ανά κιλό μειώνει πραγματικά τον πληθυσμό του λαγοκέφαλου ή αν, αντίθετα, μετατρέπει την ύπαρξή του σε διαρκή πηγή εισοδήματος. Η ανάλυση μπορεί να στηριχθεί σε απτές μεταβλητές, όπως είναι τα κιλά που παραδίδονται, η πληρωμή ανά κιλό, το κόστος ανά κιλό, το διαθέσιμο απόθεμα του ψαριού και η πιθανότητα ελέγχου. Με αυτόν τον τρόπο το πρόβλημα δεν περιγράφεται ως αφηρημένη στρατηγική σύγκρουση, αλλά ως μεγιστοποίηση κέρδους μέσα σε έναν μηχανισμό δημόσιας πληρωμής.

Από τα κιλά στο μέγιστο κέρδος

Η πρώτη μεταβλητή που μπορεί να μετρηθεί είναι τα κιλά λαγοκέφαλου που παραδίδει ένας αλιέας σε μια συγκεκριμένη περίοδο. Ας ονομάσουμε αυτή την ποσότητα q. Η δεύτερη μεταβλητή είναι η πληρωμή ανά κιλό και την ονομάζουμε s. Αν η πληρωμή είναι 5,33 ευρώ ανά κιλό, τότε το ακαθάριστο έσοδο του αλιέα από το πρόγραμμα είναι το γινόμενο της πληρωμής ανά κιλό με τα κιλά που παραδίδει.

\[ \text{Έσοδο} = s \cdot q \]

Ο τύπος του εσόδου είναι άμεσος, επειδή κάθε επιπλέον κιλό πληρώνεται με το ίδιο ποσό s. Το επόμενο βήμα είναι το κόστος. Εδώ πρέπει να αποφύγουμε μια πρόχειρη υπόθεση σταθερού κόστους, επειδή η συλλογή των πρώτων κιλών δεν έχει την ίδια δυσκολία με τη συλλογή των επόμενων κιλών. Όταν ο λαγοκέφαλος είναι άφθονος, ένα επιπλέον κιλό βρίσκεται σχετικά εύκολα. Όταν το διαθέσιμο απόθεμα είναι περιορισμένο, κάθε επιπλέον κιλό απαιτεί περισσότερο χρόνο, περισσότερη αναζήτηση, μεγαλύτερη φθορά και υψηλότερο κόστος.

Για αυτό ξεκινάμε από το οριακό κόστος και όχι από το συνολικό κόστος. Το οριακό κόστος δείχνει πόσο κοστίζει ένα ακόμη κιλό όταν έχουν ήδη παραδοθεί q κιλά και όταν το διαθέσιμο απόθεμα είναι N. Υποθέτουμε ότι υπάρχει ένα βασικό κόστος c ανά κιλό και ότι το πρόσθετο κόστος αυξάνεται ανάλογα με τον λόγο q προς N. Ο λόγος αυτός είναι απτός, επειδή δείχνει πόσο μεγάλη είναι η παραδοθείσα ποσότητα σε σχέση με το διαθέσιμο απόθεμα.

\[ MC(q,N)=c+\frac{\beta q}{N} \]

Το q είναι τα κιλά που παραδίδονται, το N είναι το διαθέσιμο απόθεμα λαγοκέφαλου στην περιοχή, το c είναι το βασικό κόστος ανά κιλό και το β δείχνει πόσο γρήγορα αυξάνεται το κόστος όταν ο αλιέας προσπαθεί να παραδώσει περισσότερα κιλά από ένα περιορισμένο απόθεμα. Η υπόθεση αυτή σημαίνει ότι το πρώτο κιλό κοστίζει περίπου c, ενώ τα επόμενα κιλά γίνονται ακριβότερα όσο το q μεγαλώνει σε σχέση με το N. Αν το N είναι μεγάλο, ο όρος β επί q προς N είναι μικρότερος και η πρόσθετη δυσκολία παραμένει περιορισμένη. Αν το N είναι μικρό, ο ίδιος αριθμός κιλών δημιουργεί υψηλότερο οριακό κόστος.

Το συνολικό κόστος προκύπτει από το άθροισμα όλων των οριακών κοστών από το μηδέν μέχρι την ποσότητα q. Μαθηματικά αυτό γράφεται ως ολοκλήρωμα του οριακού κόστους ως προς την ποσότητα x.

\[ C(q,N)=\int_{0}^{q} MC(x,N)\,dx \]

Αντικαθιστούμε το οριακό κόστος μέσα στο ολοκλήρωμα.

\[ C(q,N)=\int_{0}^{q}\left(c+\frac{\beta x}{N}\right)dx \]

Το ολοκλήρωμα χωρίζεται σε δύο μέρη. Το πρώτο μέρος είναι το ολοκλήρωμα του c και το δεύτερο μέρος είναι το ολοκλήρωμα του β επί x προς N.

\[ C(q,N)=\int_{0}^{q}c\,dx+\int_{0}^{q}\frac{\beta x}{N}\,dx \]

Επειδή το c είναι σταθερό, το πρώτο ολοκλήρωμα δίνει c επί q. Επειδή το β και το N είναι σταθερά ως προς το x, το δεύτερο ολοκλήρωμα δίνει β προς N επί x στο τετράγωνο προς 2, υπολογισμένο από το μηδέν έως το q.

\[ C(q,N)=c q+\frac{\beta}{N}\cdot\frac{q^{2}}{2} \]

Άρα το συνολικό κόστος γράφεται τελικά ως εξής.

\[ C(q,N)=c q+\frac{\beta q^{2}}{2N} \]

Ο τύπος του κόστους προκύπτει από μια υπόθεση οριακού κόστους που είναι οικονομικά φυσική και μετρήσιμη. Το βασικό κόστος ανά κιλό είναι c, ενώ το πρόσθετο κόστος αυξάνεται όταν ο αλιέας προσπαθεί να παραδώσει πολλά κιλά από ένα περιορισμένο απόθεμα. Έτσι η μαθηματική μορφή του κόστους συνδέεται άμεσα με το πιθανότερο σενάριο του πραγματικού κόσμου.

Το καθαρό κέρδος του αλιέα είναι το έσοδο μείον το κόστος.

\[ \Pi(q,N)=s q-c q-\frac{\beta q^{2}}{2N} \]

Ο αλιέας επιλέγει την ποσότητα q που μεγιστοποιεί το κέρδος του. Για να βρούμε αυτή την ποσότητα, παίρνουμε την πρώτη παράγωγο ως προς q.

\[ \frac{\partial \Pi}{\partial q}=s-c-\frac{\beta q}{N} \]

Η πρώτη παράγωγος δείχνει το οριακό κέρδος από ένα επιπλέον κιλό. Το s είναι το πρόσθετο έσοδο από ένα ακόμη κιλό. Το c είναι το βασικό πρόσθετο κόστος. Το τελευταίο μέρος δείχνει ότι το πρόσθετο κόστος αυξάνεται όσο αυξάνεται το q και μειώνεται όσο αυξάνεται το N. Αυτό είναι λογικό, επειδή ένα επιπλέον κιλό είναι πιο εύκολο να βρεθεί όταν το είδος είναι άφθονο και πιο δύσκολο όταν το είδος είναι σπάνιο.

Από τη συνθήκη πρώτης τάξης προκύπτει:

\[ s-c-\frac{\beta q}{N}=0 \]

Λύνουμε ως προς q και βρίσκουμε την άριστη ποσότητα παράδοσης:

\[ q^{*}=\frac{(s-c)N}{\beta} \]

Παρατηρούμε ότι όσο αυξάνεται η πληρωμή s, τόσο αυξάνεται η ποσότητα q^*. Όσο αυξάνεται το βασικό κόστος c, τόσο μειώνεται η ποσότητα q^*. Όσο αυξάνεται το διαθέσιμο απόθεμα N, τόσο αυξάνεται η ποσότητα q^*. Το τελευταίο σημείο είναι το πιο κρίσιμο, επειδή δείχνει ότι ο μηχανισμός πληρωμής λειτουργεί πιο εύκολα όταν υπάρχει αρκετό απόθεμα ώστε να παράγονται πληρωτέα κιλά. Το κράτος θέλει μικρότερο N, ενώ η άριστη ποσότητα παράδοσης αυξάνεται με το N.

Από τη συνθήκη δεύτερης τάξης προκύπτει ότι:

\[ \frac{\partial^{2}\Pi}{\partial q^{2}}=-\frac{\beta}{N}\lt 0 \]

Επειδή το β και το N είναι θετικά, η δεύτερη παράγωγος είναι αρνητική. Άρα η συνάρτηση κέρδους είναι κοίλη ως προς q και η ποσότητα q^* δίνει μέγιστο κέρδος, που ισχύει.

Μέγιστη αξία Mελλοντικού Aποθέματος

Το πιο σημαντικό βήμα είναι να δούμε τι συμβαίνει όταν ο αλιέας σκέφτεται όχι μόνο τη σημερινή πληρωμή, αλλά και τις μελλοντικές πληρωμές. Το προηγούμενο μοντέλο δείχνει ότι η ποσότητα q^* αυξάνεται όταν αυξάνεται το διαθέσιμο απόθεμα N. Επομένως, το N είναι ταυτόχρονα περιβαλλοντικό πρόβλημα για το κράτος και απόθεμα μελλοντικών πληρωμών για τον αλιέα.

Για να το δείξουμε καθαρά, αντικαθιστούμε το q^* μέσα στη συνάρτηση κέρδους. Έτσι βρίσκουμε τη μέγιστη αξία που μπορεί να πάρει ο αλιέας από ένα δεδομένο απόθεμα N.

\[ V(N)=\frac{(s-c)^{2}N}{2\beta} \]

Η μέγιστη αξία του προγράμματος είναι αύξουσα ως προς το N. Για να το δούμε, παίρνουμε την πρώτη παράγωγο του V ως προς N.

\[ \frac{dV}{dN}=\frac{(s-c)^{2}}{2\beta}\gt 0 \]

Η παράγωγος είναι θετική, που σημαίνει ότι κάθε πρόσθετη μονάδα διαθέσιμου αποθέματος έχει θετική αξία για τον αλιέα, επειδή αυξάνει τις μελλοντικές δυνατότητες παράδοσης και πληρωμής. Η δεύτερη παράγωγος είναι μηδενική σε αυτή την απλή εκδοχή.

\[ \frac{d^{2}V}{dN^{2}}=0 \]

Η μηδενική δεύτερη παράγωγος δεν σημαίνει ότι το πρόβλημα εξαφανίζεται, αλλά ότι, με τη συγκεκριμένη απλή συνάρτηση κόστους, η μέγιστη αξία του αποθέματος αυξάνεται γραμμικά. Αν χρησιμοποιούσαμε πιο σύνθετη συνάρτηση κόστους, θα μπορούσε να αυξάνεται με φθίνοντα ή αύξοντα ρυθμό, αλλά η βασική ιδέα θα παρέμενε ίδια. Όταν η πληρωμή συνδέεται με τα κιλά, το απόθεμα που το κράτος θέλει να μειώσει μπορεί να αποκτήσει θετική αξία για όσους πληρώνονται από την ύπαρξή του.

Ας προσθέσουμε τώρα μια νέα μετρήσιμη μεταβλητή a. Η μεταβλητή a εκφράζει τη διατήρηση ή αύξηση της μελλοντικής διαθέσιμης ποσότητας. Μπορεί να είναι απλή ανοχή της αναπαραγωγής, αποφυγή αλίευσης σε σημεία που θα μείωναν τον αναπαραγωγικό πυρήνα ή, στο ακραίο θεωρητικό σενάριο, κρυφή τεχνητή αναπαραγωγή.

Αν η διατήρηση ή αναπαραγωγή αυξάνει το μελλοντικό απόθεμα από N σε N + a, τότε το όφελος από αυτή τη συμπεριφορά μπορεί να γραφτεί ως η αξία του νέου αποθέματος μείον το κόστος της διατήρησης και μείον την αναμενόμενη ποινή.

\[ \Pi(a)=\frac{(s-c)^{2}(N+a)}{2\beta}-\frac{k a^{2}}{2}-pFa \]

Στον τύπο αυτό, το k δείχνει το κόστος διατήρησης ή αναπαραγωγής, το p δείχνει την πιθανότητα εντοπισμού και το F δείχνει την ποινή ή την οικονομική απώλεια αν εντοπιστεί στρεβλή συμπεριφορά. Το k συνδέεται με πραγματικό κόστος, το p με την ένταση των ελέγχων και το F με το ύψος των κυρώσεων.

Η πρώτη παράγωγος ως προς a δείχνει πότε η διατήρηση ή αναπαραγωγή της πηγής είναι συμφέρουσα.

\[ \frac{d\Pi}{da}=\frac{(s-c)^{2}}{2\beta}-ka-pF \]

Η συνθήκη πρώτης τάξης προκύπτει όταν η παράγωγος γίνει μηδέν.

\[ \frac{(s-c)^{2}}{2\beta}-ka-pF=0 \]

Λύνουμε ως προς a και βρίσκουμε το άριστο επίπεδο διατήρησης ή αναπαραγωγής.

\[ a^{*}=\frac{\frac{(s-c)^{2}}{2\beta}-pF}{k} \]

Παρατηρούμε ότι μεγαλύτερη είναι η καθαρή πληρωμή ανά κιλό, δηλαδή όσο μεγαλύτερο είναι το s μείον c, τόσο μεγαλύτερο μπορεί να γίνει το a^*. Όσο μικρότερη είναι η πιθανότητα ελέγχου p, τόσο μεγαλύτερο γίνεται το a^*. Όσο μικρότερη είναι η ποινή F, τόσο μεγαλύτερο γίνεται το a^*. Όσο μεγαλύτερο είναι το κόστος k, τόσο μικρότερο γίνεται το a^*. Άρα ο μηχανισμός αποτυγχάνει όταν πληρώνει αρκετά καλά την παραδοτέα ποσότητα, αλλά ελέγχει ανεπαρκώς την πηγή από την οποία προκύπτει αυτή η ποσότητα.

Η δεύτερη παράγωγος ως προς a είναι αρνητική.

\[ \frac{d^{2}\Pi}{da^{2}}=-k\lt 0 \]

Επειδή το k είναι θετικό, το a^* δίνει μέγιστο. Αυτό έχει μεγάλη σημασία, καθώς η πιθανή στρεβλή συμπεριφορά δεν χρειάζεται να είναι απεριόριστη. Μπορεί να υπάρχει ένα συγκεκριμένο επίπεδο διατήρησης ή αναπαραγωγής που μεγιστοποιεί το κέρδος, ακόμη κι αν μειώνει την κοινωνική αποτελεσματικότητα του προγράμματος.

Κοινωνική συνάρτηση και Αντίθετη παράγωγος

Το κράτος δεν θέλει να μεγιστοποιήσει το κέρδος του αλιέα, αλλά να μειώσει τη ζημιά από τον πληθυσμό του λαγοκέφαλου. Για αυτό χρειαζόμαστε μια κοινωνική συνάρτηση. Ας υποθέσουμε ότι κάθε μονάδα διατήρησης της πηγής a αυξάνει την κοινωνική ζημιά κατά d και ότι η πληρωμή του κράτους αυξάνει το δημοσιονομικό κόστος. Τότε μια απλή κοινωνική συνάρτηση μπορεί να γραφτεί ως εξής.

\[ W(a)=W_{0}-da-sq(a)-G \]

όπου, το W είναι η κοινωνική ευημερία, το `W_0` είναι η αρχική κατάσταση, το d δείχνει την κοινωνική ζημιά από τη διατήρηση της πηγής, το s επί q είναι η δημοσιονομική πληρωμή και το G είναι το διοικητικό κόστος. Άρα η κοινωνική συνάρτηση τιμωρεί τη διατήρηση της πηγής, ενώ η συνάρτηση κέρδους του αλιέα μπορεί να την επιβραβεύει όταν οι έλεγχοι είναι χαμηλοί.

Η πρώτη παράγωγος της κοινωνικής ευημερίας ως προς a είναι αρνητική όταν η διατήρηση της πηγής αυξάνει τη ζημιά και το δημοσιονομικό κόστος.

\[ \frac{dW}{da}=-d-s\frac{dq}{da}\lt 0 \]

Η σχέση αυτή λέει ότι, από την πλευρά του κράτους, περισσότερη διατήρηση της πηγής είναι κακή, επειδή αυξάνει τη μελλοντική ζημιά και μπορεί να αυξήσει τις μελλοντικές πληρωμές. Άρα μπορούμε να έχουμε ταυτόχρονα τις δύο παρακάτω σχέσεις.

\[ \frac{d\Pi}{da}\gt 0 \qquad \text{και} \qquad \frac{dW}{da}\lt 0 \]

Αυτό είναι το κεντρικό αποτέλεσμα. Η ίδια μεταβολή, δηλαδή η αύξηση της διατήρησης ή της αναπαραγωγής της πηγής, μπορεί να αυξάνει το κέρδος του αλιέα και να μειώνει την κοινωνική ευημερία. Η αποτυχία δεν προκύπτει επειδή οι αλιείς είναι κακοί, αλλά επειδή ο μηχανισμός πληρωμής δίνει θετική αξία σε ένα απόθεμα που το κράτος θέλει να μειώσει.

Η δυναμική του πληθυσμού κάνει το ίδιο πρόβλημα ακόμη πιο καθαρό. Ο πληθυσμός της επόμενης περιόδου ισούται με τον σημερινό πληθυσμό, συν τη φυσική αναπαραγωγή, συν την καθαρή είσοδο από άλλες περιοχές, συν τη διατήρηση ή αναπαραγωγή της πηγής, μείον την αφαίρεση μέσω παραδόσεων.

\[ N_{t+1}=N_t+R(N_t)+M_t+a-q_t \]

Για να μειωθεί πραγματικά ο πληθυσμός, πρέπει τα κιλά που αφαιρούνται να είναι μεγαλύτερα από τη φυσική αναπαραγωγή, την καθαρή είσοδο και τη διατήρηση της πηγής.

\[ q_t\gt R(N_t)+M_t+a \]

Αν αυτή η ανισότητα δεν ισχύει, το κράτος μπορεί να πληρώνει παραδόσεις χωρίς να μειώνει το πρόβλημα. Αυτό εξηγεί γιατί μια πολιτική μπορεί να φαίνεται λογιστικά επιτυχημένη και βιολογικά αποτυχημένη. Η ζυγαριά δείχνει κιλά, αλλά το οικοσύστημα κρίνεται από τη μεταβολή του πληθυσμού.

Ιστορικές επιβεβαιώσεις της ίδιας λογικής

Η θεωρητική κριτική δεν είναι αφηρημένη. Η ιστορία των πολιτικών επικήρυξης και των πολιτικών μαζικής θανάτωσης δείχνει ότι όταν το κράτος πληρώνει ή οργανώνει την αφαίρεση ενός ανεπιθύμητου οργανισμού, οι άνθρωποι και οι θεσμοί δεν επιτυγχάνουν πάντα τον πραγματικό πληθυσμιακό στόχο. Αντί να εξαφανιστεί το πρόβλημα, μπορεί να εμφανιστεί διοικητική δραστηριότητα χωρίς ουσιαστική μείωση, ενώ σε ορισμένες περιπτώσεις οι ίδιοι οι παίκτες μαθαίνουν να ζουν από τη διατήρηση του προβλήματος.

Το Ανόι και οι ουρές αρουραίων

Ένα από τα πιο γνωστά ιστορικά παραδείγματα είναι η περίπτωση του Ανόι στις αρχές του εικοστού αιώνα, όταν οι αποικιακές αρχές επιχείρησαν να μειώσουν τον πληθυσμό των αρουραίων πληρώνοντας ανταμοιβή για κάθε ουρά αρουραίου που παραδιδόταν. Το διοικητικό μέτρο φαινόταν λογικό, επειδή η ουρά λειτουργούσε ως απόδειξη θανάτωσης. Ωστόσο, όπως περιγράφει το Atlas Obscura, το κίνητρο μετατράπηκε σε πρόβλημα, καθώς άρχισαν να εμφανίζονται αρουραίοι χωρίς ουρά, γεγονός που σήμαινε ότι κάποιοι έκοβαν τις ουρές και άφηναν τα ζώα ζωντανά ώστε να συνεχίσουν να αναπαράγονται.

Η περίπτωση αυτή δείχνει ότι οι άνθρωποι δεν μεγιστοποιούν την πρόθεση του κράτους, αλλά την απόδοση του κανόνα πληρωμής. Το κράτος ήθελε λιγότερους αρουραίους, αλλά πλήρωνε ουρές. Άρα οι παίκτες παρήγαγαν ουρές, όχι αναγκαστικά λιγότερους αρουραίους. Με όρους μεγιστοποίησης, το πρόβλημα δεν ήταν η ελαχιστοποίηση του πληθυσμού των αρουραίων, αλλά η μεγιστοποίηση των πληρωμένων αποδείξεων θανάτωσης.

Τα αγριογούρουνα στο Fort Benning

Ένα δεύτερο παράδειγμα αφορά πρόγραμμα ανταμοιβής για αγριογούρουνα στο Fort Benning των Ηνωμένων Πολιτειών. Η λογική ήταν αντίστοιχη, καθώς τα αγριογούρουνα προκαλούσαν ζημιές και αποτελούσαν εισβλητικό πρόβλημα, ενώ η πληρωμή για τη θανάτωσή τους υποτίθεται ότι θα μείωνε τον πληθυσμό. Ωστόσο, η μελέτη με τίτλο Effectiveness of a bounty program for reducing wild pig densities κατέληξε ότι το bounty δεν ήταν αποτελεσματικό στη μείωση του αριθμού των αγριογούρουνων στο Fort Benning κατά την εξεταζόμενη περίοδο.

Το πρόβλημα είναι παρόμοιο με τον λαγοκέφαλο. Η πληρωμή ανά μονάδα νεκρού ή παραδοθέντος ζώου δεν σημαίνει αναγκαστικά έλεγχο του πληθυσμού. Ειδικά όταν ένα είδος έχει μεγάλη αναπαραγωγική ικανότητα ή όταν μπορεί να μετακινείται από γειτονικές περιοχές, η πολιτική μπορεί να παράγει αριθμούς παραδόσεων χωρίς να παράγει μόνιμη πληθυσμιακή μείωση.

Η περίπτωση της Βουλγαρίας

Σύμφωνα με τη διεθνή οργάνωση FOUR PAWS, στη Σόφια θανατώθηκαν πάνω από εβδομήντα χιλιάδες αδέσποτοι σκύλοι από το 1999 έως το 2006, χωρίς να υπάρξει σαφής μείωση του αριθμού των σκύλων στους δρόμους. Η ίδια πηγή σημειώνει ότι δεν υπήρχε τότε ολοκληρωμένο πρόγραμμα διαχείρισης πληθυσμού, γεγονός που δείχνει ότι η θανάτωση από μόνη της δεν αρκεί όταν παραμένουν ενεργές η εγκατάλειψη, η αναπαραγωγή και η απουσία συστηματικής κτηνιατρικής παρέμβασης.

Το παράδειγμα της Βουλγαρίας είναι σημαντικό, επειδή μεταφέρει τη συζήτηση από την απλή πράξη της θανάτωσης στη δυναμική του πληθυσμού. Αν η αφαίρεση δεν υπερβαίνει τη νέα είσοδο και τη νέα αναπαραγωγή, τότε ο πληθυσμός δεν μειώνεται με σταθερό τρόπο. Με μαθηματικούς όρους, η μαζική θανάτωση αποτυγχάνει όταν η ποσότητα που αφαιρείται είναι μικρότερη από το άθροισμα της αναπαραγωγής και της εισροής νέων ατόμων. Αυτό ακριβώς είναι το μάθημα που συνδέει τους αδέσποτους σκύλους με τον λαγοκέφαλο, παρότι τα δύο προβλήματα είναι βιολογικά και ηθικά διαφορετικά.

Συμπεράσματα

Η επικήρυξη του λαγοκέφαλου, όπως κάθε πολιτική που πληρώνει ανά μονάδα ενός ανεπιθύμητου οργανισμού, κινδυνεύει να αποτύχει επειδή μετατρέπει ένα οικολογικό πρόβλημα σε οικονομικό πόρο. Η μικροοικονομική λογική δείχνει ότι οι παίκτες δεν χρειάζεται να έχουν πρόθεση υπονόμευσης του κράτους για να παραχθεί στρεβλό αποτέλεσμα. Αρκεί να μεγιστοποιούν τη συνάρτηση κέρδους τους μέσα σε έναν μηχανισμό που πληρώνει την παραδοθείσα ποσότητα και όχι την πραγματική μείωση του πληθυσμού.

Το πρόβλημα δεν είναι ότι η πολιτεία προσπαθεί να δράσει, αλλά ότι δρα με έναν στρεβλό μηχανισμό που συγχέει το μετρήσιμο με το ουσιώδες. Τα κιλά που παραδίδονται είναι εύκολο να μετρηθούν, εύκολο να ανακοινωθούν και εύκολο να πληρωθούν. Η πραγματική οικολογική μείωση είναι πιο δύσκολη, πιο αργή και πιο απαιτητική. Ακριβώς όμως γι’ αυτό χρειάζεται καλύτερος σχεδιασμός, καθώς η Ελλάδα κινδυνεύει να χρηματοδοτήσει μία συνδεδεομένη επιδότηση παραγωγής λαγοκέφαλου.

Πηγές

Associated Press για την ελληνική πληρωμή ανά κιλό και τη διαχείριση του λαγοκέφαλου

Καθημερινή για το ελληνικό πιλοτικό πρόγραμμα

Atlas Obscura για το Ανόι και τις ουρές αρουραίων

Wildlife Society Bulletin για την αποτυχία του bounty στα αγριογούρουνα του Fort Benning

FOUR PAWS για τη Βουλγαρία και τη μαζική θανάτωση αδέσποτων σκύλων στη Σόφια

Είναι το ΤΖΟΚΕΡ απάτη;

Το τυχερό παιχνίδι Τζόκερ βασίζεται σε δύο διακριτά σύνολα αριθμών. Το πρώτο περιλαμβάνει σαράντα πέντε αριθμούς και το δεύτερο είκοσι. Η ανάδειξη του νικητή της πρώτης κατηγορίας απαιτεί την επιτυχία των πέντε σωστών αριθμών από το πρώτο σύνολο και ενός αριθμού από το δεύτερο. Η απαίτηση αυτή δημιουργεί ένα πολύ μικρό ενδεχόμενο επιτυχίας [1], [2].

{tocify} $title={Περιεχόμενα}

Θεωρητικό Πλαίσιο

Στον επίσημο οδηγό του παιχνιδιού αναφέρεται ότι από την πρώτη σειρά κληρώνονται 5 αριθμοί από ένα σύνολο 45 αριθμών [1]. Για να υπολογίσουμε την πιθανότητα να πετύχει κάποιος ακριβώς την πεντάδα που έχει σημειώσει, χρειαζόμαστε δύο μεγέθη. Το πλήθος όλων των δυνατών πεντάδων που μπορεί να κληρώσει η κληρωτίδα από τους 45 αριθμούς και το πλήθος των ευνοϊκών περιπτώσεων για τον παίκτη.

Αξίζει να σημειώσουμε ότι δεν μας ενδιαφέρει η σειρά που θα εμφανιστούν οι αριθμοί στην πεντάδα, δηλαδή η πεντάδα {1, 2, 3, 4, 5} είναι η ίδια με την {5, 4, 3, 2, 1}. Άρα, ο γενικός τύπος που χρησιμοποιούμε για να υπολογίσουμε τους συνολικούς συνδυασμούς είναι ο τύπος των συνδυασμών χωρίς διάταξη [3]:

\[\left(\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right)={\frac{n!}{k!(n-k)!}}\]

Συνεπώς, για \(n=45\) και \(k=5\) προκύπτει:

\[\left(\begin{array}{c}45\\ 5\end{array}\right)={\frac{45!}{5!40!}}=1\,221\,759\]

Η ευνοϊκή περίπτωση για τον παίκτη είναι μόνο μία. Η κληρωτίδα πρέπει να αναδείξει ακριβώς τους 5 αριθμούς που έχει σημειώσει ο παίκτης. Άρα, η πιθανότητα επιτυχίας είναι ίση με:

\[p_5 = \frac{1}{1\,221\,759} \approx 0.00008185 \text{%}\]

Επίσης, στον επίσημο οδηγό αναφέρεται ότι στη δεύτερη περιοχή κληρώνεται ένας αριθμός από σύνολο είκοσι αριθμών, από το 1 έως το 20 [1]. Συνεπώς, η πιθανότητα να επιτύχει ο παίκτης τον αριθμό Τζόκερ είναι:

\[p_1 = \frac{1}{20} = 5 \text{%}\]

Λαμβάνοντας υπόψη την πιθανότητα της σωστής πεντάδας που υπολογίσαμε προηγουμένως, μπορούμε να υπολογίσουμε την τελική πιθανότητα επιτυχίας στην πρώτη κατηγορία. Αξίζει να σημειώσουμε ότι οι δύο διαδικασίες είναι ανεξάρτητες. Η πρώτη κληρωτίδα αναδεικνύει πέντε αριθμούς από τους σαράντα πέντε και η δεύτερη έναν αριθμό από τους είκοσι. Το αποτέλεσμα της μίας δεν επηρεάζει το αποτέλεσμα της άλλης. Άρα, η πιθανότητα να συμβούν και τα δύο γεγονότα ταυτόχρονα ισούται με το γινόμενο των δύο πιθανοτήτων. Επομένως:

\[p_{51} = \frac{1}{1\,221\,759} \times \frac{1}{20} = \frac{1}{24\,435\,180}\]

Υπολογισμός για Δεκαετία

Επειδή τα στείρα μαθηματικά δεν έχουν καμία αξία, καλό είναι να καταλάβουμε την τάξη μεγέθους μέσω ενός παραδείγματος. Έστω ότι ένας παίκτης παίζει \(n\) στήλες σε κάθε κλήρωση. Η πιθανότητα επιτυχίας σε μία κλήρωση, για σπάνιο γεγονός με πιθανότητα \(p\), προσεγγίζει την ποσότητα \(n \times p\). Σε ορίζοντα \(D\) κληρώσεων, ο αναμενόμενος αριθμός επιτυχιών προσεγγίζει το γινόμενο \(\lambda \approx n \times p \times D\). Η λογική αυτή συνδέεται με την προσέγγιση Poisson, η οποία χρησιμοποιείται συχνά για γεγονότα που εμφανίζονται σπάνια και ανεξάρτητα μέσα σε ένα δεδομένο διάστημα [4]. Στον επίσημο οδηγό αναφέρεται ότι το Τζόκερ κληρώνεται τρεις φορές την εβδομάδα, Τρίτη, Πέμπτη και Κυριακή [1]. Άρα, ο απαιτούμενος αριθμός στηλών σε κάθε κλήρωση προσεγγίζει την τιμή \(n \approx \frac{1}{p \times D}\). Τα δεδομένα μας είναι:

1. Πιθανότητες: \(p_5 = \frac{1}{1\,221\,759}\) και \(p_{51} = \frac{1}{24\,435\,180}\)
2. Συνολικές κληρώσεις: \(D = \text{κληρώσεις ανά εβδομάδα} \times \text{εβδομάδες ανά έτος} \times \text{έτη}\)

Έστω ότι κάποιος βάζει στόχο να πετύχει την πεντάδα ή την πεντάδα μαζί με Τζόκερ μέσα στην επόμενη δεκαετία. Τότε, \(D = 3 \times 52 \times 10 = 1560\). Άρα, 1560 φορές θα γυρίσει η κληρωτίδα μέσα σε δέκα έτη. Συνεπώς:

\[n_5 \approx \frac{1}{{\frac{1}{1\,221\,759}} \times 1560} \approx 783\]

Άρα χρειάζονται περίπου επτακόσιες ογδόντα τρεις απλές στήλες σε κάθε κλήρωση, ώστε ο αναμενόμενος αριθμός επιτυχιών για την πεντάδα να είναι περίπου ίσος με μία μέσα σε δέκα έτη. Με τρεις κληρώσεις την εβδομάδα, το πλήθος αυτό αντιστοιχεί σε \(783 \times \frac{3}{7} \approx 336\) στήλες ανά ημερολογιακή ημέρα κατά μέσο όρο. Το συνολικό πλήθος στηλών σε δέκα έτη ανέρχεται περίπου σε \(783 \times 1560 = 1\,221\,480\). Δεδομένου ότι το κόστος είναι EUR 1 ανά στήλη, τότε το κόστος φτάνει περίπου τα 1.22 εκατομμύρια ευρώ σε συμμετοχές, για να γίνει ο αναμενόμενος αριθμός επιτυχιών στην πεντάδα περίπου ίσος με μία μέσα στη δεκαετία.

Αντίστοιχα, για την πεντάδα μαζί με Τζόκερ έχουμε:

\[n_{51} \approx \frac{1}{{\frac{1}{24\,435\,180}} \times 1560} \approx 15\,664\]

Άρα ο παίκτης θα έπρεπε να παίζει περίπου δεκαπέντε χιλιάδες εξακόσιες εξήντα τέσσερις στήλες σε κάθε κλήρωση, ώστε ο αναμενόμενος αριθμός επιτυχιών για την πεντάδα μαζί με Τζόκερ να είναι περίπου ίσος με μία μέσα σε δέκα έτη. Σε ημερήσια βάση αυτό αντιστοιχεί σε περίπου \(15\,664 \times \frac{3}{7} \approx 6713\) στήλες. Σε επίπεδο δεκαετίας, το συνολικό πλήθος στηλών ανέρχεται σε \(15\,664 \times 1560 = 24\,435\,840\). Το συνολικό κόστος υπερβαίνει τα 24 εκατομμύρια ευρώ.

Έστω ότι κάποιος αποφασίζει να διαθέσει αυτά τα ποσά, χωρίς να γνωρίζει ότι η συμμετοχή σε ένα τέτοιο παιχνίδι δεν αποτελεί κερδοφόρα επένδυση. Αν υποθέσουμε ότι για τη συμπλήρωση μίας στήλης απαιτείται 1 λεπτό, τότε ο παίκτης θα ξόδευε 336 λεπτά ανά ημέρα για την πεντάδα ή 6713 λεπτά ανά ημέρα για την πεντάδα μαζί με Τζόκερ. Τα μεγέθη αυτά αντιστοιχούν σε περίπου 5.6 ώρες ανά ημέρα για την πεντάδα και περίπου 112 ώρες ανά ημέρα για την πεντάδα μαζί με Τζόκερ. Προφανώς, η ημέρα έχει 24 ώρες και όχι 112. Συνεπώς, για να συμπληρώσει 6713 στήλες μέσα σε μία ημέρα, θα έπρεπε να συμπληρώνει περίπου 4.7 στήλες ανά λεπτό.

Υπολογισμός για Μία Ανθρώπινη Ζωή

Το παράδειγμα της δεκαετίας δείχνει ήδη την κλίμακα του προβλήματος. Ωστόσο, αξίζει να επεκτείνουμε τον χρονικό ορίζοντα. Έστω ότι ως ανθρώπινη ζωή θεωρούμε τα 80 έτη. Με τρεις κληρώσεις την εβδομάδα, το συνολικό πλήθος κληρώσεων γίνεται \(D = 3 \times 52 \times 80 = 12\,480\).

Με βάση την ίδια λογική, για την απλή πεντάδα ο απαιτούμενος αριθμός στηλών ανά κλήρωση γίνεται:

\[n_5 \approx 98\]

Άρα, σε ορίζοντα 80 ετών, ο παίκτης θα έπρεπε να παίζει περίπου ενενήντα οκτώ στήλες σε κάθε κλήρωση, ώστε ο αναμενόμενος αριθμός επιτυχιών για την πεντάδα να είναι περίπου ίσος με μία. Σε ημερήσια βάση, αυτό αντιστοιχεί σε \(98 \times \frac{3}{7} \approx 42\) στήλες ανά ημέρα. Το συνολικό πλήθος στηλών σε 80 έτη ανέρχεται περίπου σε \(98 \times 12\,480 = 1\,223\,040\). Με κόστος EUR 1 ανά στήλη, το συνολικό κόστος φτάνει περίπου τα 1.22 εκατομμύρια ευρώ.

Για την πεντάδα μαζί με Τζόκερ, ο απαιτούμενος αριθμός στηλών ανά κλήρωση γίνεται:

\[n_{51} \approx 1958\]

Άρα, σε ορίζοντα 80 ετών, ο παίκτης θα έπρεπε να παίζει περίπου χίλιες εννιακόσιες πενήντα οκτώ στήλες σε κάθε κλήρωση, ώστε ο αναμενόμενος αριθμός επιτυχιών για την πεντάδα μαζί με Τζόκερ να είναι περίπου ίσος με μία. Σε ημερήσια βάση, αυτό αντιστοιχεί σε \(1958 \times \frac{3}{7} \approx 839\) στήλες ανά ημέρα. Σε επίπεδο 80 ετών, το συνολικό πλήθος στηλών ανέρχεται σε \(1958 \times 12\,480 = 24\,435\,840\). Επομένως, το συνολικό κόστος υπερβαίνει τα 24 εκατομμύρια ευρώ.

Αν διατηρήσουμε την υπόθεση ότι για τη συμπλήρωση μίας στήλης απαιτείται 1 λεπτό, τότε οι 42 στήλες ανά ημέρα για την πεντάδα αντιστοιχούν σε περίπου 42 λεπτά ημερησίως. Αντίθετα, οι 839 στήλες ανά ημέρα για την πεντάδα μαζί με Τζόκερ αντιστοιχούν σε περίπου 839 λεπτά, δηλαδή σχεδόν 14 ώρες ημερησίως, κάθε ημέρα, για 80 συνεχόμενα έτη.

Οι παραπάνω υπολογισμοί δεν δείχνουν ότι η επιτυχία είναι βέβαιη. Δείχνουν το πλήθος στηλών που απαιτείται ώστε ο αναμενόμενος αριθμός επιτυχιών να γίνει περίπου ίσος με μία. Ακόμη και τότε, η πιθανότητα τουλάχιστον μίας επιτυχίας είναι περίπου \(1-e^{-1}\), δηλαδή περίπου 63.2%, και όχι 100%. Το σημείο αυτό είναι κρίσιμο, επειδή η αναμενόμενη τιμή δεν ταυτίζεται με τη βεβαιότητα επιτυχίας [4]. Τα παραπάνω δείχνουν ότι ακόμη και όταν ο χρονικός ορίζοντας επεκτείνεται από τη δεκαετία σε μία υποθετική ανθρώπινη ζωή 80 ετών, η πεντάδα και ιδίως η πεντάδα μαζί με Τζόκερ παραμένουν γεγονότα πολύ σπάνια.

Πηγές

[1] ΟΠΑΠ Α.Ε. Οδηγός Παιγνίου ΤΖΟΚΕΡ. Διαθέσιμο στο: https://stores.allwyn.gr/documents/38681/0/TZOKER%2BOfficial%2BGuide%2Bup%2Bto%2B30.11%2B%281%29.pdf/3f921e24-894f-e28c-0b63-63860e377f33?t=1700495435851

[2] ΟΠΑΠ Α.Ε. Τροποποίηση Κανονισμού Οργάνωσης, Λειτουργίας και Διεξαγωγής του Αριθμολαχείου «5 από 45 και 1 από 20 (ΤΖΟΚΕΡ)». Διαθέσιμο στο: https://media.opap.gr/Swf/tropopoisikanonismoutzoker.pdf

[3] Encyclopaedia Britannica. Permutations and combinations. Διαθέσιμο στο: https://www.britannica.com/science/permutation

[4] OpenStax. Introductory Statistics 2e, Poisson Distribution. Διαθέσιμο στο: https://openstax.org/books/introductory-statistics-2e/pages/4-6-poisson-distribution