Είναι το ΤΖΟΚΕΡ απάτη;

Το τυχερό παιχνίδι Τζόκερ βασίζεται σε δύο διακριτά σύνολα αριθμών. Το πρώτο περιλαμβάνει σαράντα πέντε αριθμούς και το δεύτερο είκοσι. Η ανάδειξη του νικητή της πρώτης κατηγορίας απαιτεί την επιτυχία των πέντε σωστών αριθμών από το πρώτο σύνολο και ενός αριθμού από το δεύτερο. Η απαίτηση αυτή δημιουργεί ένα πολύ μικρό ενδεχόμενο επιτυχίας [1], [2].

{tocify} $title={Περιεχόμενα}

Θεωρητικό Πλαίσιο

Στον επίσημο οδηγό του παιχνιδιού αναφέρεται ότι από την πρώτη σειρά κληρώνονται 5 αριθμοί από ένα σύνολο 45 αριθμών [1]. Για να υπολογίσουμε την πιθανότητα να πετύχει κάποιος ακριβώς την πεντάδα που έχει σημειώσει, χρειαζόμαστε δύο μεγέθη. Το πλήθος όλων των δυνατών πεντάδων που μπορεί να κληρώσει η κληρωτίδα από τους 45 αριθμούς και το πλήθος των ευνοϊκών περιπτώσεων για τον παίκτη.

Αξίζει να σημειώσουμε ότι δεν μας ενδιαφέρει η σειρά που θα εμφανιστούν οι αριθμοί στην πεντάδα, δηλαδή η πεντάδα {1, 2, 3, 4, 5} είναι η ίδια με την {5, 4, 3, 2, 1}. Άρα, ο γενικός τύπος που χρησιμοποιούμε για να υπολογίσουμε τους συνολικούς συνδυασμούς είναι ο τύπος των συνδυασμών χωρίς διάταξη [3]:

\[\left(\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right)={\frac{n!}{k!(n-k)!}}\]

Συνεπώς, για \(n=45\) και \(k=5\) προκύπτει:

\[\left(\begin{array}{c}45\\ 5\end{array}\right)={\frac{45!}{5!40!}}=1\,221\,759\]

Η ευνοϊκή περίπτωση για τον παίκτη είναι μόνο μία. Η κληρωτίδα πρέπει να αναδείξει ακριβώς τους 5 αριθμούς που έχει σημειώσει ο παίκτης. Άρα, η πιθανότητα επιτυχίας είναι ίση με:

\[p_5 = \frac{1}{1\,221\,759} \approx 0.00008185 \text{%}\]

Επίσης, στον επίσημο οδηγό αναφέρεται ότι στη δεύτερη περιοχή κληρώνεται ένας αριθμός από σύνολο είκοσι αριθμών, από το 1 έως το 20 [1]. Συνεπώς, η πιθανότητα να επιτύχει ο παίκτης τον αριθμό Τζόκερ είναι:

\[p_1 = \frac{1}{20} = 5 \text{%}\]

Λαμβάνοντας υπόψη την πιθανότητα της σωστής πεντάδας που υπολογίσαμε προηγουμένως, μπορούμε να υπολογίσουμε την τελική πιθανότητα επιτυχίας στην πρώτη κατηγορία. Αξίζει να σημειώσουμε ότι οι δύο διαδικασίες είναι ανεξάρτητες. Η πρώτη κληρωτίδα αναδεικνύει πέντε αριθμούς από τους σαράντα πέντε και η δεύτερη έναν αριθμό από τους είκοσι. Το αποτέλεσμα της μίας δεν επηρεάζει το αποτέλεσμα της άλλης. Άρα, η πιθανότητα να συμβούν και τα δύο γεγονότα ταυτόχρονα ισούται με το γινόμενο των δύο πιθανοτήτων. Επομένως:

\[p_{51} = \frac{1}{1\,221\,759} \times \frac{1}{20} = \frac{1}{24\,435\,180}\]

Υπολογισμός για Δεκαετία

Επειδή τα στείρα μαθηματικά δεν έχουν καμία αξία, καλό είναι να καταλάβουμε την τάξη μεγέθους μέσω ενός παραδείγματος. Έστω ότι ένας παίκτης παίζει \(n\) στήλες σε κάθε κλήρωση. Η πιθανότητα επιτυχίας σε μία κλήρωση, για σπάνιο γεγονός με πιθανότητα \(p\), προσεγγίζει την ποσότητα \(n \times p\). Σε ορίζοντα \(D\) κληρώσεων, ο αναμενόμενος αριθμός επιτυχιών προσεγγίζει το γινόμενο \(\lambda \approx n \times p \times D\). Η λογική αυτή συνδέεται με την προσέγγιση Poisson, η οποία χρησιμοποιείται συχνά για γεγονότα που εμφανίζονται σπάνια και ανεξάρτητα μέσα σε ένα δεδομένο διάστημα [4]. Στον επίσημο οδηγό αναφέρεται ότι το Τζόκερ κληρώνεται τρεις φορές την εβδομάδα, Τρίτη, Πέμπτη και Κυριακή [1]. Άρα, ο απαιτούμενος αριθμός στηλών σε κάθε κλήρωση προσεγγίζει την τιμή \(n \approx \frac{1}{p \times D}\). Τα δεδομένα μας είναι:

1. Πιθανότητες: \(p_5 = \frac{1}{1\,221\,759}\) και \(p_{51} = \frac{1}{24\,435\,180}\)
2. Συνολικές κληρώσεις: \(D = \text{κληρώσεις ανά εβδομάδα} \times \text{εβδομάδες ανά έτος} \times \text{έτη}\)

Έστω ότι κάποιος βάζει στόχο να πετύχει την πεντάδα ή την πεντάδα μαζί με Τζόκερ μέσα στην επόμενη δεκαετία. Τότε, \(D = 3 \times 52 \times 10 = 1560\). Άρα, 1560 φορές θα γυρίσει η κληρωτίδα μέσα σε δέκα έτη. Συνεπώς:

\[n_5 \approx \frac{1}{{\frac{1}{1\,221\,759}} \times 1560} \approx 783\]

Άρα χρειάζονται περίπου επτακόσιες ογδόντα τρεις απλές στήλες σε κάθε κλήρωση, ώστε ο αναμενόμενος αριθμός επιτυχιών για την πεντάδα να είναι περίπου ίσος με μία μέσα σε δέκα έτη. Με τρεις κληρώσεις την εβδομάδα, το πλήθος αυτό αντιστοιχεί σε \(783 \times \frac{3}{7} \approx 336\) στήλες ανά ημερολογιακή ημέρα κατά μέσο όρο. Το συνολικό πλήθος στηλών σε δέκα έτη ανέρχεται περίπου σε \(783 \times 1560 = 1\,221\,480\). Δεδομένου ότι το κόστος είναι EUR 1 ανά στήλη, τότε το κόστος φτάνει περίπου τα 1.22 εκατομμύρια ευρώ σε συμμετοχές, για να γίνει ο αναμενόμενος αριθμός επιτυχιών στην πεντάδα περίπου ίσος με μία μέσα στη δεκαετία.

Αντίστοιχα, για την πεντάδα μαζί με Τζόκερ έχουμε:

\[n_{51} \approx \frac{1}{{\frac{1}{24\,435\,180}} \times 1560} \approx 15\,664\]

Άρα ο παίκτης θα έπρεπε να παίζει περίπου δεκαπέντε χιλιάδες εξακόσιες εξήντα τέσσερις στήλες σε κάθε κλήρωση, ώστε ο αναμενόμενος αριθμός επιτυχιών για την πεντάδα μαζί με Τζόκερ να είναι περίπου ίσος με μία μέσα σε δέκα έτη. Σε ημερήσια βάση αυτό αντιστοιχεί σε περίπου \(15\,664 \times \frac{3}{7} \approx 6713\) στήλες. Σε επίπεδο δεκαετίας, το συνολικό πλήθος στηλών ανέρχεται σε \(15\,664 \times 1560 = 24\,435\,840\). Το συνολικό κόστος υπερβαίνει τα 24 εκατομμύρια ευρώ.

Έστω ότι κάποιος αποφασίζει να διαθέσει αυτά τα ποσά, χωρίς να γνωρίζει ότι η συμμετοχή σε ένα τέτοιο παιχνίδι δεν αποτελεί κερδοφόρα επένδυση. Αν υποθέσουμε ότι για τη συμπλήρωση μίας στήλης απαιτείται 1 λεπτό, τότε ο παίκτης θα ξόδευε 336 λεπτά ανά ημέρα για την πεντάδα ή 6713 λεπτά ανά ημέρα για την πεντάδα μαζί με Τζόκερ. Τα μεγέθη αυτά αντιστοιχούν σε περίπου 5.6 ώρες ανά ημέρα για την πεντάδα και περίπου 112 ώρες ανά ημέρα για την πεντάδα μαζί με Τζόκερ. Προφανώς, η ημέρα έχει 24 ώρες και όχι 112. Συνεπώς, για να συμπληρώσει 6713 στήλες μέσα σε μία ημέρα, θα έπρεπε να συμπληρώνει περίπου 4.7 στήλες ανά λεπτό.

Υπολογισμός για Μία Ανθρώπινη Ζωή

Το παράδειγμα της δεκαετίας δείχνει ήδη την κλίμακα του προβλήματος. Ωστόσο, αξίζει να επεκτείνουμε τον χρονικό ορίζοντα. Έστω ότι ως ανθρώπινη ζωή θεωρούμε τα 80 έτη. Με τρεις κληρώσεις την εβδομάδα, το συνολικό πλήθος κληρώσεων γίνεται \(D = 3 \times 52 \times 80 = 12\,480\).

Με βάση την ίδια λογική, για την απλή πεντάδα ο απαιτούμενος αριθμός στηλών ανά κλήρωση γίνεται:

\[n_5 \approx 98\]

Άρα, σε ορίζοντα 80 ετών, ο παίκτης θα έπρεπε να παίζει περίπου ενενήντα οκτώ στήλες σε κάθε κλήρωση, ώστε ο αναμενόμενος αριθμός επιτυχιών για την πεντάδα να είναι περίπου ίσος με μία. Σε ημερήσια βάση, αυτό αντιστοιχεί σε \(98 \times \frac{3}{7} \approx 42\) στήλες ανά ημέρα. Το συνολικό πλήθος στηλών σε 80 έτη ανέρχεται περίπου σε \(98 \times 12\,480 = 1\,223\,040\). Με κόστος EUR 1 ανά στήλη, το συνολικό κόστος φτάνει περίπου τα 1.22 εκατομμύρια ευρώ.

Για την πεντάδα μαζί με Τζόκερ, ο απαιτούμενος αριθμός στηλών ανά κλήρωση γίνεται:

\[n_{51} \approx 1958\]

Άρα, σε ορίζοντα 80 ετών, ο παίκτης θα έπρεπε να παίζει περίπου χίλιες εννιακόσιες πενήντα οκτώ στήλες σε κάθε κλήρωση, ώστε ο αναμενόμενος αριθμός επιτυχιών για την πεντάδα μαζί με Τζόκερ να είναι περίπου ίσος με μία. Σε ημερήσια βάση, αυτό αντιστοιχεί σε \(1958 \times \frac{3}{7} \approx 839\) στήλες ανά ημέρα. Σε επίπεδο 80 ετών, το συνολικό πλήθος στηλών ανέρχεται σε \(1958 \times 12\,480 = 24\,435\,840\). Επομένως, το συνολικό κόστος υπερβαίνει τα 24 εκατομμύρια ευρώ.

Αν διατηρήσουμε την υπόθεση ότι για τη συμπλήρωση μίας στήλης απαιτείται 1 λεπτό, τότε οι 42 στήλες ανά ημέρα για την πεντάδα αντιστοιχούν σε περίπου 42 λεπτά ημερησίως. Αντίθετα, οι 839 στήλες ανά ημέρα για την πεντάδα μαζί με Τζόκερ αντιστοιχούν σε περίπου 839 λεπτά, δηλαδή σχεδόν 14 ώρες ημερησίως, κάθε ημέρα, για 80 συνεχόμενα έτη.

Οι παραπάνω υπολογισμοί δεν δείχνουν ότι η επιτυχία είναι βέβαιη. Δείχνουν το πλήθος στηλών που απαιτείται ώστε ο αναμενόμενος αριθμός επιτυχιών να γίνει περίπου ίσος με μία. Ακόμη και τότε, η πιθανότητα τουλάχιστον μίας επιτυχίας είναι περίπου \(1-e^{-1}\), δηλαδή περίπου 63.2%, και όχι 100%. Το σημείο αυτό είναι κρίσιμο, επειδή η αναμενόμενη τιμή δεν ταυτίζεται με τη βεβαιότητα επιτυχίας [4]. Τα παραπάνω δείχνουν ότι ακόμη και όταν ο χρονικός ορίζοντας επεκτείνεται από τη δεκαετία σε μία υποθετική ανθρώπινη ζωή 80 ετών, η πεντάδα και ιδίως η πεντάδα μαζί με Τζόκερ παραμένουν γεγονότα πολύ σπάνια.

Πηγές

[1] ΟΠΑΠ Α.Ε. Οδηγός Παιγνίου ΤΖΟΚΕΡ. Διαθέσιμο στο: https://stores.allwyn.gr/documents/38681/0/TZOKER%2BOfficial%2BGuide%2Bup%2Bto%2B30.11%2B%281%29.pdf/3f921e24-894f-e28c-0b63-63860e377f33?t=1700495435851

[2] ΟΠΑΠ Α.Ε. Τροποποίηση Κανονισμού Οργάνωσης, Λειτουργίας και Διεξαγωγής του Αριθμολαχείου «5 από 45 και 1 από 20 (ΤΖΟΚΕΡ)». Διαθέσιμο στο: https://media.opap.gr/Swf/tropopoisikanonismoutzoker.pdf

[3] Encyclopaedia Britannica. Permutations and combinations. Διαθέσιμο στο: https://www.britannica.com/science/permutation

[4] OpenStax. Introductory Statistics 2e, Poisson Distribution. Διαθέσιμο στο: https://openstax.org/books/introductory-statistics-2e/pages/4-6-poisson-distribution